递推公式
利用“递推公式”或“函数方程”进行区间延拓求解析式。
通俗点说，就是题目只给了你一小段区间的公式，然后给你一个规则（递推式），让你像铺地砖一样，一块一块地把公式推导到其他区间去。
这类题绝对有固定的标准套路，我把它总结为 “三步走法”：设、移、代。
核心套路： “设 $\to$ 移 $\to$ 代”
无论题目怎么变，核心逻辑永远是：把“未知区间”的 $x$ ，强行转移到“已知区间”去计算，算完再利用关系式运回来。
第一步：设（锁定目标）
设 $x$ 是你要求解的那个未知区间里的任意一个数。
- 比如第2题： 设 $x \in [-2, 0)$。
第二步：移（转移阵地）
利用题目给的括号里的关系（通常是 $x+T$ 或 $x-T$），构造一个新的变量（比如 $t$），让这个 $t$ 落在已知公式的区间里。
- 比如第2题： 题目已知 $[0, 2]$ 的公式，给的关系是 $f(x)$ 和 $f(x+2)$。
- 既然 $x$ 在 $[-2, 0)$，那么 $x+2$ 就一定在 $[0, 2)$。
- 这就成功“移”到了已知区域！
第三步：代（偷梁换柱）
这是最关键的一步，包含两个动作：
- 套公式： 把那个“移过去”的变量（$x+2$），直接代入已知区间的公式里算出结果。
- 往回推： 利用递推式 $f(x) = \dots$ 把算出来的结果转化回 $f(x)$。
套路实战演示
让我们看看这两道题是怎么完美套用这个模板的：
第 2 题回顾
- 已知： $[0, 2]$ 上 $f(x)=x(x^2-4)$。
- 关系： $f(x) = -\frac{1}{2}f(x+2)$。
- 求： $[-2, 0)$ 上的 $f(x)$。
套路执行：
- 设： 设 $x \in [-2, 0)$。
- 移： 则 $(x+2) \in [0, 2)$（这个范围我们有公式！）。
- 代：
- 先算 $f(x+2)$：把 $(x+2)$ 塞进已知公式 $\to (x+2)[(x+2)^2-4]$。
- 再反推 $f(x)$：利用关系 $f(x) = -\frac{1}{2} \times \text{刚才算出的东西}$。
- 结束。
第 4 题回顾
- 已知： $[0, \pi]$ 上 $f(x)=x$。
- 关系： $f(x) = f(x-\pi) + \sin x$（注意这里是从右往左推）。
- 求： $[\pi, 3\pi]$ 上的 $f(x)$。
套路执行（注意这里跨度大，要分两段铺）：
第一段 $[\pi, 2\pi]$ ：
- 设： $x \in [\pi, 2\pi]$。
- 移： 则 $(x-\pi) \in [0, \pi]$（进入已知区！）。
- 代：
- 先算 $f(x-\pi)$：已知区公式是 $f(t)=t$，所以 $f(x-\pi) = x-\pi$。
- 再反推 $f(x)$：$f(x) = (x-\pi) + \sin x$。
第二段 $[2\pi, 3\pi]$ ：
- 重复上述步骤，只不过这次要把 $x$ 移到刚才求出来的 $[\pi, 2\pi]$ 区间，或者连移两次移回 $[0, \pi]$。
- 技巧： 如果跨度大（比如求 $100\pi$ 处的），就找规律；如果跨度小（像这题），就一段一段地往后推。
总结与避坑指南
- 看清方向： 是 $f(x+2)$ 还是 $f(x-2)$？
- 如果你求左边区间（如第2题），通常用 $x+$。
- 如果你求右边区间（如第4题），通常用 $x-$。
- 判断标准： 加上或减去数字后，必须落入已知区间。
- 别忘了“尾巴”：
- 第 2 题有系数 $-\frac{1}{2}$，最后一定要乘上去。
- 第 4 题有尾巴 $+\sin x$，最后一定要加上去。很多同学只换了 $f(x-\pi)$ 却忘了加后面的 $\sin x$。
- 诱导公式要熟： 像第 4 题这种涉及三角函数的，经常需要用到 $\sin(x-\pi) = -\sin x$ 这种变换化简，否则答案会很长很乱。
掌握了这个“三步走”套路，以后遇到所有“已知定义在 $[a,b]$，满足 $f(x) = \dots f(x+k) \dots$，求其他区间”的题，全是送分题。