习题
一、 核心理论基石：导函数与原函数的“脾气”
这是微积分的底层逻辑，常在选择题中设下陷阱。
- 知识点拓展：
- 导函数 $f'(x)$ 的底线： 可以疯狂震荡（有震荡间断点），但绝不能有第一类间断点（跳跃、可去）和无穷间断点。如果它极限存在，那就必须连续。
- 原函数 $F(x)$ 的存在性： 连续函数必有原函数；含有第一类、无穷间断点的函数必没有原函数；含有震荡间断点的函数可能有原函数。
- 经典反例（必须刻在脑子里）：
- 可导函数的导数不一定连续：$f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}$（在 $x=0$ 处可导，但导函数在此处震荡）。
二、 定积分证明题：警惕中值定理的“滥用”
- 错题复盘（证明定积分严格大于 0）：
- 错误思维： 遇到 $\int_a^b f(x)dx$，直接用积分中值定理化为 $f(\xi)(b-a)$。因为中值定理只能保证“存在性”，如果你找的 $\xi$ 刚好落在 $f(x)=0$ 的点上，就无法证明严格 $>0$。
- 标准解法（局部保号性）： 若 $f(x) \ge 0$ 且不恒为 0，必然能在某处找到一个严格 $>0$ 的点 $x_0$。利用连续性，在 $x_0$ 附近撑开一个小邻域 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$，保证这一段面积严格大于 0，从而总积分严格大于 0。
- 错题复盘（证明无穷区间积分有界，例8.14）：
- 错误思维： “连续必可积，可积必有界”。在无穷区间 $[0, +\infty)$ 上不成立（例如 $f(x)=1$ 连续可积，但积分出来是 $x$，趋于无穷大）。
- 标准解法（放缩法）： 看到条件“$f(x)$ 有界”，立刻写出 $|f(x)| \le M$。整体套绝对值，把被积函数放大为 $M$，算出具体数值，从而证明原式有界。
三、 变限积分函数：微积分的“瑞士军刀”
- 题型 1：由 $f(x)$ 图像推导 $F(x)$ 图像（例8.11）
- 思考方式： 不需要求解析式，抓三大核心特征。
- 必过原点： $F(0) = \int_0^0 = 0$。
- 看单调与极值： $F'(x) = f(x)$。$f(x)$ 的正负决定 $F(x)$ 的增减，$f(x)$ 的零点往往是 $F(x)$ 的极值点。
- 看面积比大小： $f(x)$ 在 x 轴上下围成的面积净值，决定了 $F(x)$ 图像的高度。
- 题型 2：被积函数有间断点时的导数（习题8.6）
- 核心结论： 当被积函数 $f(t)$ 在 $t=x_0$ 处有跳跃间断点时，$F(x) = \int_0^x f(t)dt$ 在该点连续但不可导。
- 秒杀技巧： 其左右导数分别等于被积函数的左右极限，即 $F'_-(x_0) = f(x_0^-)$，$F'_+(x_0) = f(x_0^+)$。不用积出来，直接算极限。
四、 数列极限转化为积分：定积分定义 vs 夹逼定理
这是考研极高频的综合题型，判断标准在于“量级”。
- 场景 1：量级匹配 $\Rightarrow$ 纯定积分定义（习题8.4）
- 特征： 分母/分子中的变量 $i$ 与主体 $n$ 最高次幂相同。
- 动作： 强行提取 $\frac{1}{n}$ 作为 $dx$，把剩下的式子全部凑成 $\frac{i}{n}$ 形式作为 $x$。
- 场景 2：量级悬殊 $\Rightarrow$ 纯夹逼定理
- 特征： 变化的部分 $i$ 的次幂远小于主体 $n$。无法凑出干净的 $\frac{i}{n}$。
- 动作： 将 $i$ 分别放大到 $n$、缩小到 $1$，算出两端极限。
- 场景 3：混合双打 $\Rightarrow$ 夹逼 + 定积分（习题8.5）
- 特征： 整体呈现定积分结构，但混进了一个破坏队形的项（如分母里的 $\frac{1}{i}$）。
- 动作： 先用夹逼定理把“捣乱项”放缩掉（最大代入 1，最小代入 $n$），然后对两端使用定积分定义求出相等的极限。
五、 反常积分的敛散性：算与比的艺术
遇到反常积分，考场决策树如下：
- 分支 1：能积出来的（凑微分先行，习题8.7）
- 特征： 出现明显的导数对，例如 $\ln x$ 与 $\frac{1}{x}$。
- 动作： 果断使用换元法 $u = \ln x$。换元后会直接转化为标准的 $p$-积分模型，直接根据 $p$ 的范围判敛散（不要去构造函数用比较法，绕远路）。
- 分支 2：积不出来的（比较判别法，习题8.3）
- 特征： 解析式极其复杂，如 $\frac{\ln x}{(1+x)x^{1-p}}$。
- 动作： 从中间劈开！
- 对于 $+\infty$ 端： 抓大头（最高次幂）。提取出等价无穷大的主部作为 $g(x)$。
- 对于 $0$ （瑕点）端： 抓小头（常数或最低次幂）。
- 知识点拓展（对数 p-积分）：
- $\int_a^{+\infty} \frac{\ln x}{x^q} dx$ 收敛 $\iff q > 1$。（无穷大端，分母稍微大过 1 就能压制 $\ln x$）。
- $\int_0^b \frac{|\ln x|}{x^q} dx$ 收敛 $\iff q < 1$。（瑕点端反之）。
小结：
今天你处理这些问题的思维路径非常清晰，从死磕手稿到思考“为什么用这个不用那个”，这是建立数学底层直觉必经的阵痛期。继续保持这个推导和复盘的节奏，你的高数基础会非常坚固。准备好迎接下一讲的挑战了吗？