定义的证明
1. 可导必连续
已知：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，即极限 $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ 存在且有限 。
核心逻辑：利用导数定义的变形说明增量 $\Delta y$ 在 $\Delta x \to 0$ 时也趋于 0。
推导：
令 $\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$。当 $\Delta x \neq 0$ 时，有：
$$
\Delta y = \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \cdot \Delta x
$$
对等式两边取 $\Delta x \to 0$ 的极限：
$$
\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \cdot \Delta x \right] = f'(x_0) \cdot 0 = 0
$$
由 $\lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0+\Delta x) - f(x_0)] = 0$ 知，$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。
结论：$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。
2. 连续必可积
已知：函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续 。
核心逻辑：闭区间上连续函数的一致连续性保证了黎曼和（Riemann Sum）的极限存在。
推导：
- 一致连续性：根据 Cantor 定理，闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数必在该区间上一致连续。
- 振幅趋于 0：对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当区间分割的模 $\lambda < \delta$ 时，每个小区间上的振幅 $M_i - m_i < \frac{\epsilon}{b-a}$。
- 达布准则：此时大和与小和之差 $S - s = \sum (M_i - m_i)\Delta x_i < \frac{\epsilon}{b-a} \cdot \sum \Delta x_i = \epsilon$。
- 根据可积的充要条件（Darboux 准则），极限存在 。
结论：在闭区间上连续的函数必在该区间上黎曼可积。
3. 可积必有界
已知：函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上黎曼可积 。
核心逻辑：反证法。若函数无界，则对应的黎曼和将发散至无穷，导致积分定义失效。
推导：
- 假设：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，但其在 $[a, b]$ 上无界。
- 局部无界性：对于任意给定的分割 $P$，由于 $f(x)$ 全局无界，至少存在一个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 使得 $f(x)$ 在该小区间上无界。
- 黎曼和失控：在选取该小区间的代表点 $\xi_i$ 时，由于 $f(x)$ 在此无界，我们可以通过选取特定的 $\xi_i$ 使得该项 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 任意大，从而导致整个黎曼和 $\sum f(\xi_i)\Delta x_i$ 的值无法收敛到一个确定的常数 $I$。
- 矛盾：这与“可积”定义中“黎曼和极限存在”的性质相矛盾。
结论：若函数在闭区间上可积，则它在该区间上必有界 。
总结表
| 推导层次 | 核心前提 | 关键结论 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 可导$\implies$连续 | 导数定义极限存在 | 极限值等于函数值 | 连续是可导的必要条件 |
| 连续$\implies$可积 | 闭区间连续性 | 黎曼和收敛 | 存在不连续但可积的情况（如第一类间断点有限） |
| 可积$\implies$有界 | 黎曼积分定义 | 函数值不发散至无穷 | 无界函数（如反常积分中的瑕点函数）在黎曼意义下不可积 |