导数和积分
一、基本初等函数导数公式表
| 函数 $f(x)$ | 导函数 $f'(x)$ |
|---|---|
| 常数 $C$ | $0$ |
| $x^{\mu}$ | $\mu x^{\mu-1}$ |
| $a^x$ $(a>0,\,a\neq 1)$ | $a^x \ln a$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\log_a x$ | $\dfrac{1}{x \ln a}$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ |
| $\cot x$ | $-\csc^2 x$ |
| $\sec x$ | $\sec x \tan x$ |
| $\csc x$ | $-\csc x \cot x$ |
| $\arcsin x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arccos x$ | $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arctan x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
| $\operatorname{arccot} x$ | $-\dfrac{1}{1+x^2}$ |
二、基本不定积分公式表
| 被积函数 $f(x)$ | 不定积分 $\displaystyle\int f(x)\,dx$ |
|---|---|
| 常数 $k$ | $kx + C$ |
| $x^{\mu}$ $(\mu \neq -1)$ | $\dfrac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln \vert x \vert + C$ |
| $a^x$ | $\dfrac{a^x}{\ln a} + C$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ |
| $\sec^2 x$ | $\tan x + C$ |
| $\csc^2 x$ | $-\cot x + C$ |
| $\sec x \tan x$ | $\sec x + C$ |
| $\csc x \cot x$ | $-\csc x + C$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x + C$ |
| $\dfrac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x + C$ |
三、考研高频补充积分公式
三角函数类
$$
\int \tan x \, dx = -\ln \vert \cos x \vert + C
$$
$$
\int \cot x \, dx = \ln \vert \sin x \vert + C
$$
$$
\int \sec x \, dx = \ln \vert \sec x + \tan x \vert + C
$$
$$
\int \csc x \, dx = \ln \vert \csc x - \cot x \vert + C
$$
$$
\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2} \bigl( \sec x \tan x + \ln \vert \sec x + \tan x \vert \bigr) + C
$$
含 $a^2 \pm x^2$ 及根式类
$$
\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C
$$
$$
\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln \left\vert \frac{x-a}{x+a} \right\vert + C
$$
$$
\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin \frac{x}{a} + C
$$
$$
\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} \, dx = \ln \left\vert x + \sqrt{x^2 \pm a^2} \right\vert + C
$$
$$
\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} + C
$$
$$
\int \sqrt{x^2 \pm a^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln \left\vert x + \sqrt{x^2 \pm a^2} \right\vert + C
$$
四、求导与积分的基本法则
求导法则（$u,v$ 可导）
- 四则运算：
$(u \pm v)' = u' \pm v'$；
$(uv)' = u'v + uv'$；
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$。
- 复合函数链式法则：若 $y = f(g(x))$，则 $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$。
积分法则
- 线性性质：
$\displaystyle\int [k_1 f(x) \pm k_2 g(x)]\,dx = k_1 \int f(x)\,dx \pm k_2 \int g(x)\,dx$
- 第一类换元（凑微分）：
$\displaystyle\int f(\varphi(x)) \varphi'(x)\,dx = \int f(u)\,du$
- 第二类换元：常用三角代换、根式代换等。
- 分部积分：
$\displaystyle\int u \, dv = uv - \int v \, du$
常见类型可参考“反对幂指三”的优先级选择 $u$。