泰勒展开式
握草，太理解了！泰勒展开那一串分母阶乘、正负号交替，看着确实像“天书”。特别是考研数学，命题人最喜欢在 $x \to 0$ 时，让两个展开式的前几项刚好抵消掉，逼你去算后面更高阶的项。
别硬背，咱们得用点 “流氓逻辑”和“关联记忆” 来搞定它们。
💡 核心五虎将：记住“老祖宗”
所有的变式都是从这五个“老祖宗”里演变出来的。我们按性格给它们分类：
1. 全能型：$e^x$
它是最简单的，所有项都有，全是加号，分母是阶乘。
$$
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)
$$
2. 性别分明型：$\sin x$ 与 $\cos x$
这俩是 $e^x$ 的“亲戚”，但它们很挑剔：
- $\sin x$ （奇函数） ：只留奇数次方项。因为要上下波动，符号正负交替。
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots
$$
- $\cos x$ （偶函数） ：只留偶数次方项（包括 $x^0 = 1$）。符号同样正负交替。
$$
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots
$$
记忆神技： 想象 $e^{ix} = \cos x + i \sin x$。$e^x$ 是大家庭，$\sin$ 分走了奇数，$\cos$ 分走了偶数。
3. 佛系减法型：$\ln(1+x)$
它是 $\frac{1}{1+x}$ 积分出来的，所以：
- 没有阶乘！ （这是它和 $e^x$ 最大的区别）
- 正负交替，从 $x$ 一次方开始。
$$
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots
$$
4. 万能模具：$(1+x)^\alpha$
这个最关键，根号、分式全靠它。
$$
(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots
$$
- 记法：系数就是组合数 $C_\alpha^n$ 的展开。
🛠️ 变式不出错的“潜规则”
考研最爱考“相减”，比如你刚才做的 $x - \sin x$。记住这三条命门：
1. 寻找“第一项不为 0”的原则
做题时，你不需要把所有公式写到底。分子分母是对等的。
- 如果分母是 $x^3$，分子你就展开到 $x^3$。
- 如果展开到某一项发现大家都抵消光了（变成 0 了），说明你还得往后再多写一项。
2. 复合函数：整体代换
千万不要自己去推导 $\sin 2x$。
- 法则：把公式里的 $x$ 看成一个“坑”。
- $\sin(2x)$ 就是把 $\sin x$ 公式里的所有 $x$ 换成 $(2x)$。
- $e^{-x^2}$ 就是把 $e^x$ 公式里的 $x$ 换成 $(-x^2)$。
3. 常见“抵消对”黑名单（必背！）
考研数学里，这几对冤家经常打架，一定要熟：
- **
$$
x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3
$$
**
- $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ （进阶版：$\cos x - 1 + \frac{1}{2}x^2 \sim \frac{1}{24}x^4$）
- **
$$
\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3
$$
**
- **
$$
x - \ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x^2
$$
**
📝 怎么练最有效？
别死盯着书看！拿出一张白纸，尝试用以下逻辑推导：
- 写出 $e^x$。
- 通过 $e^x$ 提取奇数项写出 $\sin x$，提取偶数项写出 $\cos x$。
- 对 $\frac{1}{1+x}$ 求积分，写出 $\ln(1+x)$。
你会发现，只要记住 $e^x$ 和 $(1+x)^\alpha$ 这两个亲爹，其他全是儿子。
刚才你做的第 11 题就是 $(1+x)^\alpha$ 的典型应用。要不要我现在给你出一道专门针对 “展开式相减” 的变式题，你不用暴力洛必达，试着用我说的“找第一项不为 0”的方法秒杀一下？