第八讲
一、 三大核心概念：理清“家族族谱”
积分学里有三个名字很像，但本质完全不同的概念，在考研客观题中经常被用来挖坑。
1. 不定积分（找“祖宗”）
- 本质： 是一个函数族。求不定积分就是求 $f(x)$ 的所有原函数，记为 $F(x) + C$。
- 存在性定理（最爱考选择题）：
- 连续函数 $\implies$ 必有原函数。
- 含有第一类间断点、无穷间断点的函数 $\implies$ 必没有原函数。
- 含有震荡间断点的函数 $\implies$ 可能有原函数。
2. 定积分（算“面积”）
- 本质： 是一个具体的数值。微观上看，它是“分割、近似、求和、取极限”的结果。
- 几何意义： 曲线 $f(x)$ 与 x 轴围成的代数面积（x 轴上方为正，下方为负）。
- 可积性（存在性）：
- 连续函数 $\implies$ 必可积。
- 有界且只有有限个间断点的函数 $\implies$ 必可积。（注意：可积不一定有原函数，比如有跳跃间断点的函数可积，但没原函数）。
3. 变限积分（“桥梁”与“VIP”）
- 本质： 是一个具体的函数 $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$。它把常数上限换成了变量 $x$。
- 核心地位： 它是微积分基本定理的载体，完美连接了导数和积分。
二、 一大核心骨架：微积分基本定理 (N-L 公式)
这是整个微积分大厦的承重墙，分为两个部分。
1. 变限积分求导定理（连接导数与定积分）
- 若 $f(t)$ 连续，则 $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$ 可导，且 $\Phi'(x) = f(x)$。
- 考点延伸： 即使 $f(t)$ 有跳跃间断点，$\Phi(x)$ 依然连续，只是在断点处不可导（存在左右导数）。这一条经常结合分段函数出大题。
2. 牛顿-莱布尼茨公式（计算的终极武器）
- $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$。
- 避坑指南： 使用前提是 $F(x)$ 必须是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的连续原函数。如果遇到有瑕点的反常积分，绝不能直接强行代入上下限，必须转为极限计算。
三、 六大核心性质：选择题与证明题的“弹药库”
这部分是考研证明题（如不等式证明、根的个数讨论）的重灾区。
1. 线性性质与区间可加性
- 平淡无奇但最常用：积分号可以拆分加减号，区间可以任意切分。
2. 保号性（非常关键）
- 如果在 $[a, b]$ 上 $f(x) \ge 0$，则 $\int_a^b f(x)dx \ge 0$。
- 严格保号性（你踩过坑的地方）： 如果 $f(x) \ge 0$ 且不恒为 0，加上连续条件，则必然有 $\int_a^b f(x)dx > 0$。这是利用“局部保号性”推导出来的，绝不能用中值定理直接证。
3. 估值定理（M-L 不等式）
- 如果 $m \le f(x) \le M$，那么 $m(b-a) \le \int_a^b f(x)dx \le M(b-a)$。
- 常用于放缩法，判断复杂积分的有界性或极限。
4. 绝对值不等式（绝对值往里拿，积分值变小）
- $\left| \int_a^b f(x)dx \right| \le \int_a^b |f(x)|dx$。
5. 积分中值定理
- 若 $f(x)$ 连续，必存在 $\xi \in [a, b]$，使得 $\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a)$。
- 推广（第一积分中值定理）： $\int_a^b f(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^b g(x)dx$（要求 $g(x)$ 不变号）。常用于提取复杂的连续函数，留下好积的部分。
6. 奇偶性与周期性（化简神技）
- 对称区间 $[-a, a]$ 上的积分：奇函数积分为 0，偶函数积分为一半的两倍。
- 周期函数积分：在任意一个周期长度上的积分值都相等。
四、 拓展边界：反常积分（广义积分）
这是定积分在“区间无穷”和“函数无界”两个方向上的延伸。
- 处理逻辑： 一律转化为定积分 + 极限。
- 无穷区间积分 $\int_a^{+\infty} f(x)dx$ ： 关注 $x \to +\infty$ 时的衰减速度。
- 瑕积分 $\int_a^b f(x)dx$ （存在垂直渐近线）： 关注 $x \to$ 瑕点 时的发散速度。
- 敛散性判别利器：
- 能算出来的： 凑微分/换元，直接算出极限（如遇到 $\ln x$ 与 $\frac{1}{x}$ 的组合）。
- 算不出来的： 抓大头/抓小头，构造 $g(x)$ 使用比较判别法，熟记 $p$-积分的收敛条件（无穷看 $p>1$，瑕点看 $p<1$）。